La curva exponencial y el confinamiento explicados con un ejemplo

A lo largo de estos días he encontrado bastantes personas que no entienden las razones del confinamiento, y sufren por ello de ansiedad, o simplemente enfado. En mi opinión, eso se debe a que tampoco entienden cómo funciona un crecimiento exponencial de contagios.

Voy a tratar de explicarlo, pero antes de empezar recordad que esto es un ejemplo puramente teórico del desarrollo de una curva exponencial en los primeros días, simplificado al máximo, y que cualquier parecido con los números que proporcionan las autoridades sanitarias será mera coincidencia. Para ver la situación en números oficiales podéis consultar las estadísticas que actualizo diariamente para las Comunidades Autónomas españolas.


Este virus es especialmente temible, no por su tasa de letalidad (número de fallecimientos por volumen de contagiados) que, salvo para los mayores de 60 años, es relativamente leve. En conjunto, por lo que sabemos de países con mejores herramientas – entre otras cosas, porque habían pasado recientemente por esto, o son lo bastante ricos – no suele llegar al 1% en promedio.

En España, estos eran los números a principios de abril:

Fuente El País: El coronavirus mata más a los hombres que a las mujeres

Como veis, hasta los 60 años la letalidad es bastante moderada, pero a partir de ahí los hombres fallecemos uno de cada veinte, a los 70 uno de cada diez, y a partir de ahí uno de cada cuatro, o incluso de cada tres enfermos. Las mujeres tenéis tasas algo más bajas, pero también significativas a partir de los 70 años.


Ahora observad la siguiente tabla:

En el primer ciclo (supongamos que es diario) la primera persona enferma contagia a otras dos. En realidad la tasa es más alta, pero para mayor sencillez dejémosla en números redondos. Al día siguiente, esas dos personas contagiarán, cada una, a otras dos, con lo cual tendremos cuatro nuevas personas contagiadas, que se sumarán a las tres del día anterior. El tercer día esas cuatro nuevas personas infectarían a dos cada una, o sea a ocho. Y ya tendremos el día siguiente a 8+4+2+1=15 personas infectadas. Y así sucesivamente.

Como el virus se vuelve contagioso muy pronto, pero no suele generar síntomas hasta pasados unos días, nadie sabrá que está ahí, transmitiéndose, y nadie hará nada al respecto. Y si algún enfermo leve se acerca a su ambulatorio, lo más probable es que lo traten como a una gripe, o un resfriado común.

A partir del día séptimo empezarán a fallecer personas, primero muy lentamente y luego más rápido. Es bastante probable que, inicialmente, se achaquen a la gripe, hasta que se detecte mediante pruebas – que a su vez tardan varios días – que la causa es el coronavirus. Pero mientras conseguimos la confirmación, habrán seguido circulando miles de infectados que habrán contagiado a otros miles de personas, y unas decenas o incluso algún centenar fallecerán un par de semanas más tarde.

Para situarnos, sabemos que, en la fase inicial, algo más de la mitad de los infectados con síntomas requerirá hospitalización, y de ellos aproximadamente un tercio tendrá que ingresar en la UCI. El problema es que España anda bastante mal de ambas cosas, y vaciar todas las camas de los pacientes que las ocupan para dejar sitio a los infectados podría generar otra mortandad, tanto por las muertes indirectas de pacientes con otras enfermedades que no pueden ser atendidas debidamente, como por las inducidas al contagiarse en el propio hospital algunos pacientes que ingresaron por enfermedades más leves.

Ambas gráficas han sido obtenidas de la publicación de El Orden Mundial

Es decir, que en torno al día 19 el sistema sanitario dejará de ser capaz de absorber a los enfermos y tratarlos. Si no se hace nada para aumentar su capacidad – lo que se suele conocer como escalamiento – la red sanitaria se colapsará, aumentando las tasas de mortalidad.

Debo advertir de nuevo que en este ejemplo no he tenido en cuenta esta variación de la mortalidad por el colapso sanitario, porque resulta muy complejo de valorar, pero aún manteniendo el ritmo de decesos constante podéis ver que para el día veinticinco ya se han infectado 33 millones de personas, y fallecido casi 235.000. Desde ese momento se produce un efecto que se conoce como de inmunidad de rebaño, comunidad o grupo y la infección decaerá por sí misma, aunque durante unas semanas la gente seguirá falleciendo.

Fue la estrategia que plantearon inicialmente tanto en Gran Bretaña como en Estados Unidos, pero tuvieron que echar atrás cuando se dieron cuenta de que la mortandad podía ser catastrófica.


Sigamos. Supongamos ahora que, en cuanto se detecta la infección, las autoridades imponen una serie de medidas que rebajan la tasa de contagio solo en un 10%, pasando de 2 contagios por persona infectada en promedio, a 1,80. Es una bajada mínima que nos sirve para el ejemplo, pero para situarnos en contexto real, se suele admitir que la epidemia empieza a estar controlada cuando el ritmo de contagios es inferior a 1. Debe pues entenderse esta cifra de 1,80 como muy modesta.

Sería esta otra tabla, en la que no incluyo los primeros 12 días porque los números serían idénticos a la anterior:

Como veis, la Sanidad se colapsaría unos días más tarde, y se producirían 152.000 fallecimientos menos en los primeros 25 días. Y eso con tan solo una disminución del 10% en la tasa de contagios. Alguien dirá que 83.000 personas fallecidas son una barbaridad, y será cierto, pero seguirán siendo 152.000 personas más de las que sobrevivirían en caso de no haber hecho nada.

Obviamente, puesto que no hemos alcanzado una masa de personas curadas equivalente al valor de inmunidad de grupo – entre 60 y 70% de la población total – el virus continuará expandiéndose más allá de esos 25 días, pero con un volumen de pacientes algo más controlable, lo que a su vez disminuye la letalidad.


A continuación hacemos otro supuesto en el que las autoridades, además, introducen durante un tiempo limitado una restricción más severa que baja el índice de contagios de 1,80 a 1,50. O lo que es lo mismo, en promedio por cada persona que contagie a otras dos, habrá otra que solo contagie a una. Esta situación es, por ejemplo, lo que ocurrió esta pasada Semana Santa al cerrar el acceso al trabajo de casi todos los españoles, salvo servicios esenciales.

Solo hemos aumentado las restricciones a la circulación durante siete días, cuando el virus ya estaba en un período en el que el contagio crecía rápidamente, y de una forma relativamente moderada. Aun así, hemos disminuido la cifra de fallecidos a 24.000 en los primeros 25 días: casi 60.000 fallecimientos menos que en el supuesto anterior, y 210.000 supervivientes más que si no se hubiese actuado en absoluto.

De nuevo, puesto que no hemos alcanzado una masa de personas inmunizadas equivalente al valor de inmunidad de rebaño, en este caso el virus continuará expandiéndose más allá de esos 25 días, pero ahora estaríamos mucho más cerca de evitar el colapso sanitario.


Comparemos ahora los tres supuestos en un único gráfico, siempre en el período de mayor crecimiento:

Como podéis observar, la curva es prácticamente invisible durante las primeras dos semanas, y se presta a confusión durante unos días más porque los casos son relativamente pocos y pueden atribuirse a la gripe o a resfriados comunes. Es a partir del día 20 cuando realmente la epidemia se muestra en todo su horror, y solo las medidas de contención social pueden bajar la tasa de contagios hasta niveles asumibles por el sistema sanitario.


Pero hay otro factor que no he tenido en cuenta, y es que los decesos se producen, en promedio, en torno a dos o tres semanas después de la infección. Ahora, en este contexto, imaginad que vosotros tuvieseis que decidir cuales serán las medidas de confinamiento, teniendo en cuenta que los resultados de cualquier decisión que toméis se reflejarán dos o tres semanas más tarde. Es decir, que lo que ocurra en ese período no tiene marcha atrás posible.

La primera pregunta es ¿cuándo habríais desencadenado la alarma?

Ahora se conoce que la infección empezó a circular masivamente por España en febrero, aunque entonces se ignoraba. Hasta el cuatro de marzo se habían detectado 198 casos, y se acababa de saber que un paciente había fallecido el 13 de febrero, aunque la muerte se había imputado inicialmente a otra causa.

Antes de decidir nada, recordad que también sois responsables de la economía de un país que se está arrastrando tras la durísima crisis de 2008, y que cualquier restricción a los desplazamientos generará millones de desempleados. Pues bien, nadie lo vio, o quien lo viese no se atrevió. No solo el gobierno, sino que tampoco las Cortes decretaron el estado de Excepción, pudiendo habérselo ordenado al gobierno.

Aun se tardarían diez días más, cuando para entonces ya contábamos con 2.950 casos confirmados y habían fallecido 84 personas a las que se les había realizado un test PCR. Luego sabríamos que eran muchas más, pero entonces todavía nadie había mirado lo que ocurría en las residencias de ancianos.

Y aquí viene la segunda pregunta, ¿hasta qué punto habríais endurecido las medidas de confinamiento? Teniendo en cuenta lo que he mencionado de los millones de desempleados, ¿habríais decretado un confinamiento laxo, al estilo del italiano de primera hora? ¿O habríais sido más duros que el Gobierno Español prohibiendo incluso cualquier tipo de actividad laboral no esencial? Y ahora, antes de contestar, pensad que tardaréis de dos a tres semanas en saber cuanta gente podría haberse salvado de haber ordenado medidas más estrictas, y para entonces no habrá rectificación posible. ¿No preferiríais pecar por exceso?

Por si esto os da una pista, hay un interesante estudio (en inglés) que ha encontrado que los países que dependen en mayor medida del turismo han tendido a reaccionar mucho más tarde y más duramente, que aquellos cuya economía es dependiente del comercio y la industria. España no es una excepción.

Fuente: voxeu.org

En resumen, el Gobierno de España probablemente reaccionó unos días tarde – a partir del 4 de marzo ya cabía sospechar la que se nos venía encima – de forma que, cuando por fin lo hizo, no tuvo más remedio que imponer medidas muy duras porque los números reales de infectados y fallecidos ya estaban creciendo a un ritmo mayor de lo que el Sistema Nacional de Sanidad (SNS) podía absorber. Pero no solo ellos fallaron, el SNS está mayoritariamente transferido a las Comunidades Autónomas, y ninguna dio entonces el paso, por más que ahora se pongan medallas. Lo mismo cabe decir de la mayoría de los partidos políticos representados en el Parlamento, que podían haber exigido al gobierno desde el Congreso que actuase, invocando el Estado de Excepción, pero tampoco lo hicieron.


Creo que con esto el funcionamiento de la expansión del contagio puede haber quedado algo más claro, y la complejidad de la toma de decisiones, también.

Mi conclusión es que, efectivamente, se reaccionó tarde, pero no mal. Creo que se podría haber declarado el estado de Alarma una semana antes, pero con la misma dureza, o incluso más, en el nivel de confinamiento. Entre contabilizar desempleados vivos y pensionistas muertos, creo que caben pocas dudas. A menos que uno se llame Trump y sea presidente de un país con 330 millones de habitantes que le importan un bledo, que ese es un nivel al que no llegamos.

Pero claro, yo no me presento a las elecciones, y sospecho que, si el Gobierno hubiese tomado tales decisiones, lo habrían apedreado los mismos partidos políticos que ahora lo siguen haciendo por motivos espurios. Porque no creo que sea un problema únicamente de Gobierno, sino en general del nivel de nuestra clase política, con algunas – lamentablemente pocas – muy honrosas excepciones.

Por tanto entenderéis que si alguien me preguntase si el Gobierno está gestionando la situación bien o mal, creo que respondería que lo están haciendo decentemente, teniendo en cuenta que algunos de los ministros simplemente pasaban por allí cuando les cayó el desastre. Pero, sobre todo, pensad en cual es la alternativa. Si llegasen a estar gobernando VOX y el PP en estas circunstancias, creo que yo me preferiría darme directamente por muerto para ahorrar sufrimientos.


Antes de terminar, reitero mi advertencia: esto es un mero ejemplo para ilustrar algunos detalles del contagio que no son sencillos de entender, pero ni de lejos es un modelo matemático que pueda ser utilizado más allá del fin para que ha sido redactado. Tampoco pretende mostrar todo el desarrollo de la curva de contagios, sino que se limita a los primeros días.

Dicho esto, salud, que buena falta nos hace.


NB: Para quién quiera aprender más sobre contagios y medidas de confinamiento, recomiendo visitar esta página de infografías del Washington Post.

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